“PA+k·PB”型的最值问题(胡不归与阿氏圆问题）

“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当 k 值为 1

时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型

来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。

而当 k 取任意不为 1 的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无

法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。

即点 P 在直线上运动和点 P 在圆上运动。

其中点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。

（一）点 P 在直线上运动 “胡不归”问题

如图 1-1-1 所示，已知 sin∠MBN=k,点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一个动

点，点 A 在射线 BM、BN 的同侧，连接 AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的

位置如何确定?

分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点 P 作 PQ⊥BN 垂足为

Q，则 k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,

∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图 1-1-2)，

即 A、P、Q 三点共线时最小（如图 1-1-3），本题得解。

【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危

的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原

理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A→B（如图所示），而忽视了走折线虽

然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小

伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？

胡不归？…何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到

家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问

题”。

（二）点 P 在圆上运动 “阿氏圆”问题

如图所示 2-1-1，⊙O 的半径为 r,点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点，

已知 r=k·OB.连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确

定？

分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图 2-1-2）在线段 OB

上截取 OC 使 OC=k·r,则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB=PC。

∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即 A、P、C

三点共线时最小（如图 2-1-3），本题得解。

【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足

PA=kPB（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼

斯发现，故称“阿氏圆”。